Petite rubrique scientifique... à l'usage des boulistes   

PHYSIQUE DU TIR

1) Le problème du tireur :

Une boule de lyonnaise est lancée d’un point A avec un vecteur vitesse initial (Va) connu. Quel point B du sol (supposé à la même altitude que A) va-t-elle atteindre ?
Réciproquement, comment faut-il lancer la boule A (quels paramètres faut-il préciser) pour qu’elle atteigne le point B ?

2) Objectifs :

- Etudier la nature du mouvement de chute d’une boule de lyonnaise lancée, pour laquelle le frottement sur l’air peut être négligé. Le cas contraire est aussi évoqué.
- Modéliser le mouvement par comparaison à un mouvement simulé.
- Ecrire et résoudre l’équation différentielle du mouvement.
- Examiner quelques propriétés de la trajectoire.

3) Dispositif d’étude :

Nous avons utilisé le module de simulation de Mecawin et les différents modules de traitement, mais on peut utiliser d’autres logiciels pour aboutir aux mêmes conclusions.

4) Quelques questions préalables :

La trajectoire de la boule peut-elle être rectiligne ?

Plusieurs trajectoires peuvent-elles être envisageables pour relier le point de lancer et le point de chute ?
Quelle est la nature géométrique de la trajectoire de la boule ?
Avec une même vitesse initiale, plusieurs angles de tir différents permettent-ils d’atteindre la boule tirée ?
Pour une vitesse initiale donnée, comment lancer la boule pour qu’elle atteigne le point le plus éloigné possible ?
Si plusieurs trajectoires sont envisageables avec une même vitesse initiale, l’énergie cinétique de la boule à son arrivée à  la boule visée est-elle différente pour chacune ?

5) La trajectoire de la boule peut-elle être rectiligne ?

Oui…, si la boule roule sur un sol horizontal ! Mais ce n’est pas le sujet étudié.
Son mouvement pourrait-il alors être aussi uniforme ? Pourquoi ?
Pourquoi le mouvement de la boule étudiée n’est-il pas rectiligne et uniforme ? Quelles sont les caractéristiques de l’action mécanique responsable de ce mouvement ?

6) Comment prévoir la trajectoire de la boule ?

De nombreux essais, réalisés en modifiant à chaque fois un seul paramètre, permettent de construire des tables numériques à partir desquelles il est possible de faire correspondre une trajectoire précise à des conditions initiales données.

Une prévision moins empirique est-elle possible en utilisant les lois de Newton ?

- Où se trouve la boule après une durée Dt (à la date t + Dt) ?
            Le vecteur vitesse de la boule à la date t est V, si on le suppose invariable pendant la durée Dt, le déplacement de la boule est représenté par le vecteur déplacement MM’ = Dt.V et  sa nouvelle position est définie par le vecteur OM’ = OM + MM’
            La validité de la méthode repose sur l’hypothèse de l’invariance de V (et aussi des forces impliquées)

- Comment le vecteur vitesse est-il modifié dans la durée Dt ?
            Appliquer la deuxième loi de Newton à la boule. Elle conduit à a = g si on néglige tout frottement, et à a = g-f/m dans le cas contraire, qui ne sera envisagé qu’ultérieurement.
            Dans la durée Dt, le vecteur vitesse varie donc de DV = Dt.g
            Sa nouvelle valeur est alors V’ = V + DV
            On a ainsi déterminé la position et le vecteur vitesse pour la nouvelle date t’ = t + Dt
            Il suffit de répéter (calcul itératif) autant de fois que souhaité ce calcul pour prévoir toutes les positions ultérieures

- Si on ne peut pas négliger la force de frottement, par exemple proportionnelle au vecteur vitesse, une troisième étape est nécessaire pour déterminer le nouveau vecteur accélération à la date t’ = t + Dt :
            A’ = g – f/m soit a’ = g – kV’/m

- L’égalité vectorielle a = g – f/m est l’équation du mouvement. Selon la valeur de la force f, elle donne les équations différentielles suivantes :
            o Si la force de frottement est proportionnelle à f, on obtient : x’’ + k/m.x’ = 0 et y’’ + k/m. y’ = -g
            o Si elle est proportionnelle au carré de la vitesse : x’’ + k/m.x’2 = 0
            o Dans le cas de la boule de lyonnaise, le frottement est négligé, k est nul. Les équations prennent alors la forme simple : x » = 0 et y’’ = -g
La méthode précédente permet d’obtenir une solution de ces équations puisqu’elle permet la détermination des positions successives du mobile, mais ne donne pas de solution analytique. 

7) Confrontation à l’expérience :

La méthode n’est valable que si elle permet d’obtenir une solution satisfaisante de l’équation du mouvement.
Pour s’en assurer, on va comparer l’enregistrement expérimental du mouvement d’une boule, et la solution de l’équation du mouvement correspondant aux mêmes conditions initiales. La méthode est valable s’il y a accord entre l’expérience et la solution.
En utilisant le fichier « parabole Sport-Boules » contenant des mesures prêtes à l’emploi, leur analyse a donné un vecteur vitesse initial dont les coordonnées sont x’0 = -1,22 m/s, y’0 = 3,41 m/s et un vecteur accélération dont la valeur est g = 9,9 m/s2.

            Ces éléments de départ vous étant fournis dans ce modeste article, il ne vous reste plus qu’a installer le logiciel MECAWIN sur votre ordinateur portable que vous garderez  à portée de main au fond du jeu et à entrer les paramètres tels que la distance à laquelle se trouve l’objet que vous tirez, le poids et le diamètre de votre boule de tir ainsi que ceux de la boule visée… En quelques secondes, vous devriez savoir, en vous élançant, à quelle vitesse la boule doit sortir de votre main et quelle parabole elle devra respecter durant son vol afin d’être à peu prés sûr de faire un carreau !

M. QUINQUETON

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